1 引言
结构优化设计是1960年代初发展起来的一门新兴学科，它将数学中的最优化理论与工程设计相结合，使人们在解决工程设计问题时，可以从无数设计方案中找到最优或者是尽可能完善的设计方案，从而大大提高了工程设计效率和设计质量。
结构优化设计可以根据设计变量类型的不同划分为3个层次：优化结构元件的参数，称为参数优化或尺寸优化；优化结构的形状，称为形状优化；优化结构的拓扑结构，称为拓扑优化。其中，拓扑优化难度最大，但它是优化设计中最具生命力的研究方向。
2 结构拓扑优化的发展概况
结构拓扑优化包括离散结构的拓扑优化和连续变量结构的拓扑优化。拓扑优化的主要思想是将寻求结构的最优拓扑问题转化为在给定的设计区域内寻求材料的最优分布问题。虽然结构拓扑优化的概念已经提出100多年了，但直到近几十年才得到迅速的发展，而且大部分的研究都是针对连续结构的，而针对离散变量的研究甚少。由于离散变量优化的目标函数和约束函数是不连续、不可微的，可行域退化为不可连通的可行集，所以研究难度大大高于连续变量优化问题。
结构拓扑优化的研究历史是从桁架结构开始的。Maxwell在1854年首次进行了应力约束下最小桁架的基本拓扑分析。1904年Michell用解析分析的方法研究了应力约束、一个荷载作用下的结构，得到最优桁架缩影满足的条件，后称为Michell准则，并将符合Michell准则的桁架称为Michell桁架，也称最小重量桁架，这被认为是结构拓扑优化设计理论研究的一个里程碑。但是，Michell提出的桁架理论只能用于单工况并依赖于选择适当的应变场，并不能应用于工程实际。直到1964年，Dorn、Gomory、Greenberg等人提出基结构法(ground structure approach)，进一步将数值理论引入该领域，此后拓扑优化的研究重新活跃起来了。所谓的基结构就是一个由众多构件联结而成的、包括所有载荷作用点、支承点在内的结构。该方法的基本思路是：从基结构的模型出发，应用优化算法(数学规划法或优化准则法)，按照某种规则或约束，将一些不必要的杆件从基结构中删除，例如截面积达到零或下限的杆件将被删除掉，并认为最终剩下的杆件决定了结构的最优拓扑应用基结构，可以将桁架拓扑优化转换为杆件截面优化来处理。
Michell桁架理论在近几十年得到了重要的进展。Cox证明了Michell桁架同时也是最小柔度设计。Hegemier等将Michell准则推广到刚度\动力参数约束，以及非线性弹性等情况。Hemp纠正了其中的一些错误。Rozvany对Michell桁架的唯一性和杆件的正交性进行了讨论，对Michell准则做了进一步的修正。现在，已经建立了多工况以及应力和位移组合约束情况的优化准则。Hemp研究了Michell桁架的求解方法并给出了一些重要解答。Dobbs和Fetton使用最速下降法求解多工况应力约束下桁架结构的拓扑优化。Shen和Schmidt采用分枝定界法求解在应力和位移两类约束下桁架结构在多工况作用下的最优拓扑。王光远等提出了结构拓扑优化的两相法。Kirsch针对离散结构的拓扑优化问题,提出了一种两阶段算法。Rozvany研究了在一个集中力的作用下，用一个直线支撑边界，或两个相交支撑边界，以及四边形设计域时四边全部支撑等情况下的Michell桁架的解。周克民等提出了采用有限元方法建立Michell桁架的方法。
近年来一些适合于并行计算且对函数性态要求较低的全局搜索算法，如遗传算法(GA)，神经元网络算法和模拟退火算法(SA)等开始应用于拓扑优化设计中，但是这些算法仅能用来解决小规模的问题。遗传算法是基于Darwin进化理论和Mendal遗传学说的一种优化搜索方法，由于它对目标函数、设计变量及可行域没有特殊要求，因而在结构优化设计领域具有广泛的适用性。用遗传算法求解拓扑优化设计，满足结构杆件的增删可以同时进行，从而避免陷入众多局部最优，但是遗传算法受到自身机理的限制，当问题的求解空间较大时，它的收敛进程将十分漫长。刘红艳将遗传算法和拟满应力算法相结合提出了一种新的杂交算法，这种算法利用拟满应力算法的优势进行截面优化，利用遗传算法进行拓扑优化，大大减少遗传算法的求解空间，加速收敛进程，可处理多空间多工况的离散变量结构拓扑优化问题，且使用方便，运行稳定。朱朝艳等把传统的离散复合形法嵌入到遗传算法形成一种新的混合遗传算法-复合形遗传算法，并把它应用于求解离散变量桁架结构拓扑优化设计问题，取得比较满意的结果。蔡文学和程耿东使用模拟退火算法求解桁架结构拓扑优化的全局最优解，构造了一个双重控制Metropolis准则处理应力约束，提出了一个基于力平衡的启发式准则，以实现优化过程中单元的自动增删。高峰等研究了遗传算法采用实数码及非一致变异对优化结果的影响效果，并用GA解决多工况、多约束离散变量结构拓扑优化问题。日本的H.kawamura采用改进的遗传算法来求解桁架结构拓扑优化问题。刘光惠和韦日钰针对桁架拓扑优化问题提出桁架拓扑和尺寸优化的协同演化算法。亦有不少学者从离散变量优化设计角度来研究拓扑优化。大连理工大学孙焕纯等人提出了离散变量拓扑优化的序列二重二级优化方法。柴山等建立了包含截面和拓扑两类变量的离散变量结构拓扑优化设计的数学模型，该模型考虑了截面变量与拓扑变量间的耦合关系,反映了拓扑优化问题的组合优化本质，可以较好地解决“极限应力”、“最优解的奇异性”等困扰结构拓扑优化设计的问题。段宝岩和陈建军基于极大熵原理提出了一种新的杆系结构拓扑优化方法，通过引入应变能密度函数，将极大熵与拓扑优化建立了内在联系，从而将拓扑优化问题转化为寻求最佳应变能分布的问题。针对大型结构的拓扑优化问题，Zhou和Rozvany发展了一种优化准则类算法，即DCOC算法，采用这种算法可使准则法求解拓扑优化的能力大为提高。
需要指出的是，在采用基结构时，无论以内力还是截面积为设计变量最终都是将桁架拓扑优化问题转化为广义(截面)尺寸优化问题，这样做虽然简单,但也带来了一些不易解决的困难，例如考虑应力\局部稳定(屈曲)约束时的特殊困难，还有“奇异最优解”问题等。奇异最优解问题是Sved和Ginos最早发现的。他们在用数学规划法求解一个三杆桁架的拓扑优化设计时，始终得不到全局最优解，只能得到局部最优解，从而猜测在某种情况下，拓扑优化的全局最优解可能是设计空间中的一个孤立可行点，称为奇异最优解。She和Schmit对这个问题进行了详细说明。Kirsch对该问题做了进一步研究后指出，结构最优拓扑可能是设计空间的一个奇异点，并绘制了设计域的图形。程耿东和蒋铮从另一个角度进行研究,指出应力约束函数在零截面处的不连续性是造成奇异最优解的根本原因，结构拓扑优化的可行域不仅可能非凸而且可能呈星形，全局最优解可能位于设计空间中非凸星形可行域的退化低维子域的端点，因此采用传统的数学规划方法难以得到全局最优解。程耿东和郭旭提出一种ε-Relaxed算法处理桁架结构奇异最优解问题，这种方法通过对原问题的约束函数加以变换并予以适当放松，使原问题中处于低维退化子域上的可行点附近的可行域测度不再为零，从而可以利用已有的拓扑优化算法有效地求出全局最优解。
