通常拓扑(usual topology)是一类特殊的拓扑。设Rn为n维欧几里得空间，XR。Rn中按欧几里得空间的度量确定的拓扑在X上的相对拓扑称为X上的通常拓扑。当X=Rn时，X上的通常拓扑满足一切分离公理，是σ紧、林德勒夫、局部紧、可分、第一可数、第二可数、仿紧、亚紧、全体正规、连通、道路连通、局部连通空间。但不是紧、可数紧、序列紧、伪紧、零维空间。 [2] 拓扑是集合上的一种结构。设T为非空集X的子集族。若T满足以下条件：
1.X与空集都属于T；
2.T中任意两个成员的交属于T；
3.T中任意多个成员的并属于T；
则T称为X上的一个拓扑。具有拓扑T的集合X称为拓扑空间，记为(X，T)。
设T1与T2为集合X上的两个拓扑。若有关系T1T2，则称T1粗于T2，或T2细于T1。当X上的两个拓扑相互之间没有包含关系时，则称它们是不可比较的。在集合X上，离散拓扑是最细的拓扑，平凡拓扑是最粗的拓扑。 简称欧氏空间。既是几何学的研究对象，又是代数学的研究对象。在几何学中，欧氏空间是满足全部欧几里得公理的几何空间。它的几何是研究几何图形的度量性质和度量不变量的欧几里得几何(简称欧氏几何)，包括普通平面几何和立体几何的全部理论。 欧氏几何空间按维数的不同而有一维欧氏空间(即欧氏直线)、二维欧氏空间(即欧氏平面)和三维欧氏空间(即普通空间，在几何学中也常简称欧氏空间)。在代数学中，欧氏空间是实数域上的一个线性空间，在其中规定了一个称为内积的二元实函数。欧氏线性空间的维数可以是任意的自然数。容易在同维数的欧氏几何空间与欧氏线性空间之间建立直接的联系。在欧氏几何空间中取定一点作为公共的起点，空间每一点就决定一个以该点作为终点的向量.这种向量的全体构成的集合在向量加法和数乘向量的乘法下就是一个线性空间.再以通常向量的数量积作为线性空间中向量的内积，这个线性空间就是一个欧氏线性空间.反之，在线性空间取定基底后，n维线性空间中的向量可以用n元数组作为坐标表示，再把n维欧氏线性空间的向量的坐标看做n维欧氏几何空间中建立了直角坐标系后点的坐标，这样就在n维欧氏线性空间的向量和n维欧氏几何空间的点之间建立了一一对应，并且当取后者的坐标原点作为公共的起点，由后者的每个点作为终点所决定的向量，其坐标正好与前者的对应向量的坐标相同，由其数量积所确定的欧氏线性空间，也与前者完全合一。
总之，按照以上的讨论，在同维数的几何空间和欧氏线性空间之间可以建立一一对应，并在此对应下保持着各自的几何、代数结构。这也是将后来发展的代数体系与先发展的几何体系取同一名称——欧几里得空间的原因。
亦称分离公理模式、子集公理、子集公理模式。集合论的一条重要公理。由策梅洛(Zermelo，E.F.F.)于1908年提出。该公理断言：如果φ是带参变元P的性质，则对任何集合X和P，都存在集合Y={u|u∈X∧φ(u，P)}，它含有X中所有性质φ的元素。这条公理可形式化为： 其中，P亦可以是参变元组P=〈P1，P2，…，Pn〉。如果记具有性质φ(u，P1，P2，…，Pn)的类为A，利用交的定义可将公理写成下面的形式： 它的意义是类与任何集合的交是集合。由集合组成的非空类A的交∩A是集合等。分离公理的另一推论是全类V是真类，否则{x|x∈V∧x? x}就会是集合.由于公式φ(u，P)有无穷多个，对于每个具体的φ(u，P)都将得到一条公理，故分离公理实质上是一个公理模式，它包含了无穷多条公理。策梅洛的这条公理形象地刻画了从已给集合按一定的限制(性质)可分离出它的子集这一性质。策梅洛用分离公理代替弗伦克尔(Fraenkel，A.A.)的替换公理后得到的公理体系称为策梅洛集合论。它比ZF弱。例如在ZF中能证明集{ω，P(ω)，P(P(ω))，…}的存在性，而在策梅洛集合论中却不能，这里ω为自然数集。 [3] 分离的拓扑空间E称为是局部紧的，如果E的任一点有紧邻域。任一紧空间是局部紧的。任一离散的拓扑空间是局部紧的，但如果它是无穷的，则不是紧的。数轴是局部紧的，但不是紧的。有理数轴不是局部紧的。
为使局部紧空间的一个子集为局部紧的，必须且只须它是一个开集同一个闭集的交。特别，局部紧空间的所有开集、所有闭集都是局部紧的。
有限个局部紧空间的积是局部紧的。
为使赋范向量空间是局部紧的，必须且只须它是有限维的。 一类重要的拓扑空间。为了讨论拓扑空间的可度量化问题，迪厄多内(Dieudonné，J.)于1944年引入仿紧空间的概念。设X为拓扑空间。若X的任意开覆盖都有局部有限的开覆盖加细，则称X为仿紧空间。紧空间是仿紧空间。度量空间也是仿紧空间。反之未必成立.仿紧空间是紧空间的一种最重要的推广。对于这一类空间的研究，不仅从内容上推广了紧空间理论，而且较大地发展了覆盖方法，有力地推动了一般拓扑学的发展，特别是广义度量空间理论和度量化问题的广泛进展。另外，仿紧空间在微分流形、代数拓扑和泛函分析中也有重要的应用。仿紧性具有闭遗传性。仿紧T2空间的闭连续像是仿紧T2的。仿紧T2空间是全体正规空间.全体正规空间是仿紧空间。仿紧T2空间中的Fσ集是仿紧的。在完全映射下，仿紧空间的原像是仿紧的。仿紧空间是亚紧的、可数仿紧的、族正规的。可数紧的仿紧空间是紧空间。林德勒夫空间是仿紧的。斯通(Stone，A.H.)于1948年、迈克尔(Michael，E.)于1953年给出了仿紧性的几个等价条件。森田纪一(Morita，K.)和玉野(Tamano，H.)于1960—1962年也分别给出了几个等价条件。 [4]
